Олімпіадні завдання

Олімпіадні задачі

5 клас

1.    У запису 5555 поставте між деякими цифрами знак додавання так, щоб дістати вираз, значення якого дорівнює

а)  20;                              б)  110;                                   в)   560

2.  Груша важча за яблуко, а яблуко важче за персик. Що важче – груша чи яблуко? 

3.   Із трьох монет одна фальшива – вона легша за інші. Як за одне зважування на шалькових терезах без гир визначити фальшиву монету?

4. Маємо дві посудини ємкістю 3л і 5л. Як за допомогою цих посудин налити з крана 4л води? (Воду можна виливати).

5.   Сашко сказав: "Позавчора мені було 10 років, а наступного року мені виповниться 13 років". Коли в Сашка день народження?

Кожне завдання оцінюється в 5 балів

Використання калькуляторів заборонено

6 клас 

1.    Знайти значення виразу

 

2.  Батькові 29 років, а сину 7 років. Через скільки років батько буде старший за сина в 2 рази? 

3.     Скількома нулями закінчується добуток 1•2•3•….49•50?

4. Іван Іванович купив собаку. Сашко думає, що цей собака чорний пудель, Павлик вважає його білою болонкою, а Маша – білим шпіцом. Відомо, що кожний із дітей правильно вгадав або колір шерсті собаки, або породу. Назвати породу собаки і колір його шерсті.

5.   Довести, що будь-яке трицифрове число, записане однаковими цифрами ділиться на 37.

7 клас

1.     Частина жителів міста говорить тільки англійською мовою, частина – тільки німецькою, а частина вміє говорити обома мовами. Німецькою мовою говорять 85% жителів, англійською – 75%.  Скільки відсотків жителів говорять обома мовами?

2.     Обчислити:

3.     У школі 25 класів і 850 учнів. Довести, що є клас, у якого не менш ніж 34 учні.

4.     В одній з вершин куба сидить муха. Чи може вона переповзти по всіх його ребрах рівно по одному разу і повернутися у початкову вершину?

5.     Після того як пішохід пройшов 1 км і половину шляху,  що залишилася, йому ще залишилось пройти третину всього шляху і 1 км. Чому дорівнює ввесь шлях?

8 клас

1.      Порівняти числові вираз

2. Нумеруючи сторінки підручника, використали 855 цифр. Скільки сторінок пронумеровано в підручнику? (Нумерацію починати зі сторінки під    номером 1). 

3.   Точка Д – середина сторони АС трикутника АВС. На стороні ВС взято таку точку F, що кут ВFA дорівнює куту СFД. Знайти відношення АF:ДF. 

4.   Юрко задумав натуральне число, помножив його на 13, закреслив останню цифру результату. Отримане число він помножив на 7, знову закреслив останню цифру і отримав 21. Яке число задумав Юрко? 

5.    Довести, що при будь-якому натуральному n сума n³+5n ділиться націло на 6.

9 клас

1.   Побудувати графік 

2.   Розв’язати рівняння

3.    Вулицями міста рухаються 487 тролейбусів. У кожному з них може знаходитися не більше ніж 70 людей. Крім водія, у тролейбусі завжди їде кондуктор. Довести, що обов’язково 8 тролейбусів, у яких їде однакова кількість людей. 

4.    Катети прямокутного трикутника дорівнюють 6 і 8. Знайти відстані між центрами вписаного і описаного кіл цього трикутника.

5.   Довести, що при будь-якому натуральному n сума n³+5n ділиться націло на 6.

10 клас

1.   Побудувати графік

 у = х² – 6х + 8.

2.   Розв’язати рівняння      

 2m²+3mn – 2n²=3  в цілих числах

3.     Довести нерівність

4.   Рівнобедрений прямокутний трикутник АВС (АС=СВ) вписали в коло. На дузі АВ взяли довільну точку M. Довести, що √2 МС=МА+МВ.

5.   Кожна точка площини пофарбована в один із трьох кольорів: червоний, зелений або синій. Довести, що знайдуться дві точки, розміщені одна від одної на відстані 1, пофарбовані в один колір.

11 клас

1.     Побудувати графік         у = х² – 6х + 8. 

2.    Розв’язати рівняння 

3.   Довести нерівність 

4.      Рівнобедрений прямокутний трикутник АВС (АС=СВ) вписали в коло. На дузі АВ взяли довільну точку M. Довести, що √2 МС=МА+МВ. 

5.    Кожна точка площини пофарбована в один із трьох кольорів: червоний, зелений або синій. Довести, що знайдуться дві точки, розміщені одна від одної на відстані 1, пофарбовані в один колір.