Готуємось до математичної олімпіади. ПОРАДИ ПЕТРА ІСАКОВИЧА САМОВОЛА
Пропоную до вашої уваги статтю вчителя математики П.І. Самовола. Він працював у ЗШ І-ІІІ ступенів № 2 м. Гайворон і мав обдарованих учнів, які брали участь у республіканських олімпіадах з математики, займали призові місця, отримували дипломи переможців.
Це поради від П.І. Самовола учню, який готується до олімпіади.
У сучасній школі учень досить рідко отримує можливість сприйняти математику в її різних проявах як єдину цілісну науку. А складний та захоплюючий процес математичного відкриття найчастіше залишається зовсім осторонь освіти. Вчені-математики вважають, що розв’язування олімпіадної задачі – це майже завжди шматочок «справжньої» математики, який дає, хай обмежене, але досить яскраве уявлення про ідеї, методи та естетику цієї науки. З цього приводу Борис Делоне – відомий представник московської математичної школи – якось зазначив: «Велике наукове відкриття відрізняється від ґрунтовної олімпіадної задачі лише тим, що для розв’язання олімпіадної задачі необхідно витратити 5 годин, а для отримання наукового результату – 5000 годин».
З іншого боку, не слід вважати, що сукупність олімпіадних задач є адекватною моделлю «великої» математики. Образно кажучи, ми маємо справу з «заповідником» або «науковим акваріумом». Адже в реальній дійсності математик звичайно розв'язує задачу, яку ніхто до цього не розв’язував і невідомо навіть, чи існує у цієї задачі розв'язок взагалі, не говорячи про те, що вченому для знаходження такого розв'язку, можливо, доведеться створювати власні методи та теоретичні прийоми. І все ж не слід впадати в скептицизм. Кращі математичні задачі – це справжні твори математичного мистецтва. В процесі пошуку та роздумів над їх розв’язаннями учень, по суті, проходить той самий шлях і отримує таку ж – мало з чим зрівняну – насолоду, яка так знайома кожному професіоналу-математику. Досвід переконує, що той, хто хоча б раз у житті відчув усю гамму почуттів, притаманних першопроходцеві, вже ніколи не зможе бути в науці бездушним статистом. У цьому розумінні значення математичних олімпіад важко переоцінити. Але разом з тим слід відзначити і те, що для досягнення високого результату в математиці зовсім необов'язково знайомитися з визначними задачами, знаходячись у жорстких умовах математичного змагання.
Тут, як у шахах, спортивна сторона не повинна затьмарювати головне: науку та мистецтво. І якщо своїм успіхам на олімпіаді природно радіти та пишатися, то невдачі не повинні призвести до зневіри у власні математичні здібності.
Справа в тому, що математичні здібності можуть бути інтелектуальними та творчими. Різницю між ними можна встановити, пригадавши порівняння академіка С. Лебедєва. Показуючи на шафу з книжками, вчений якось сказав: «Ця шафа знає набагато більше ніж я, але ж я – фізик, а вона – ні.»
На олімпіадах більше навантаження припадає на інтелектуальні здібності, і не випадково П. Александров стверджував, що якби в часи його юнацтва були б математичні олімпіади, то він, мабуть, взагалі не став би математиком, бо його головні досягнення в цій науці з’явилися не внаслідок швидкопрацюючої винахідливості, а є підсумком тривалого і глибокого внутрішнього споглядання.
Запам’ятаємо це освідчення великого вченого і зробимо спробу прокоментувати відомий крилатий вислів: «В олімпіаді головне – не перемагати, а брати участь.» Ясна річ, що коли йдеться про участь у всеукраїнській або міжнародній олімпіадах, то сам цей факт вже є суттєвою перемогою особистості над собою. Але чи набагато спроможна збільшити кількість та якість знань лише та подія, за якої учень, не готуючись спеціально, 2-3 години проведе на шкільній олімпіаді, але не пройде в наступний тур? Відповідь банальна. Тому, на наш погляд, головне в олімпіадах – не участь, і, навіть, не перемога. Ми стоїмо на тій позиції, що головне в олімпіаді – це ґрунтовна підготовка, тобто іншими словами, цілеспрямована попередня навчальна діяльність. При цьому не має значення, чи готується учень до олімпіади на гуртках чи факультативах, працює з учителем індивідуально, чи розв’язує задачі самостійно. Важливо лише те, щоб він тривалий час завантажував свій розум відповідною працею. Звичайно, наші погляди можугь не поділяти деякі учні або вчитель На їхній погляд, навіщо готуватися, скажімо, до обласної олімпіади, якщо в будь-якому виступі голови журі (принаймні за останні 30 років) можна почути, що задачі дібрано, не виходячи за межі шкільної програми відповідного класу. Отже, звичайної річної четвірки досить, щоб стати призером олімпіади, а про відмінників нічого й казати. Звичайно, на практиці все далеко не так оптимістично. Спробуємо розібратися, чому. На наш погляд, посилання на виступи організаторів олімпіад, прагнення використати їх висловлювання як аргумент – справа безнадійна. Хоча і декларується організаторами олімпіад, що програмових знань може вистачити для розв’язання завдань, ніхто з них не наполягатиме на тому, що ці ж знання гарантовано забезпечать і знаходження бажаного розв’язку самостійно. Для цього, за словами професіоналів-математиків і членів оргкомітетів журі, необхідно лише мати правильно поставлене і раціонально організоване гнучке математичне мислення, розвинену інтуїцію та загальну ерудицію. А ось саме це і є закономірним результатом копіткої, тривалої та різнобічної попередньої підготовки. Зрозуміло, що існують і інші ідеї щодо передолімпіадних тренувань, але їх ми розглянемо нижче. А зараз перейдемо до питання наявності відповідної науково-методичної бази для організації передолімпіадної роботи.
Одразу зазначаємо, що в наш час різноманітних посібників, які були б придатні для здійснення необхідної методичної допомоги учневі та педагогу, досить багато і видані вони великими тиражами. Однак, їх недолік полягає в тому, що рівень складності пропонованих задач досить високий і доступний лише малій частині молоді. А літератури, яку міг би зрозуміти учень з твердою четвіркою, яка тою чи іншою мірою допомагала б йому розв'язувати задачі підвищеної складності рівня шкільних, районних та обласних олімпіад, тобто методичного тлумачника, який би містив не тільки задачі, а й послідовний виклад теорії, – такої літератури немає. Тому, на думку автора, пропоновані рекомендації певною мірою допоможуть зняти гостроту цієї проблеми як для зацікавленого учня, так і для небайдужого вчителя-початківця.
Спочатку спробуємо сформулювати, а потім послідовно викласти деякий набір традиційних олімпіадних тем або питань, якими учень має свідомо володіти та активно застосовувати під час розв'язування задач.
1. Принцип Діріхле на рівні глибокого філософського розуміння та добре відпрацьованої техніки використання.
2. Метод математичної індукції.
3. Теорія подільності на рівні використовування властивостей порівнянь.
4. Елементи теорії графів.
ПОРАДИ УЧНЕВІ
Максимальний розвиток інтелектуальних та творчих здібностей є основною метою в процесі підготовки до олімпіад. Тому ніколи не слід наперед обмежувати себе зверху яким-небудь рівнем знань.
· Досвід переможців міжнародних олімпіад переконливо свідчить, що необхідно регулярно працювати на «граничних» і навіть на «над граничних» висотах. Пам'ятай, що нікому в житті ще не вдавалося досягти Полярної зірки, але багатьом вежа вказувала вірний шлях. Тому тривала та напружена робота над однією, досить важкою задачею, роздуми над нею протягом кількох годин, і навіть днів, корисніше для твого розумового розвитку (навіть у випадку невдачі), ніж десяток перемог під час розв'язання одноходових стереотипних вправ.
· Якщо ти вирішив ґрунтовно готуватися до олімпіади, радимо тобі дотримуватися принципів: регулярності, культу чистовика та блокнота, принципу «наполегливої жабки», паралельності, варіативності, самоосвіти, принципу творчості.
Принцип регулярності
Спортивні тренери радять, що для того щоб спортсмен міг виконати норму 1 розряду з легкої атлетики – йому треба «вибігатися». Іншими словами, за тиждень бігуну необхідно подолати 100-120 км. Вважаємо, що тут існує певна аналогія. Адже зустрічаються такі задачі, над якими 1,5-2 години роздумів виявиться замало. За цей час можна просто не до кінця зрозуміти умову. Тоді корисно відкласти цю задачу і повернутися до неї під час прогулянки, або у вечірні часи. Непогано було б присвячувати розумовій праці над математикою 20-24 години на тиждень, включаючи уроки математики в школі.
Дотримуючись принципу регулярності ти зможеш суттєво збільшити і рівень втаєної інтелектуальної витривалості. Адже не для кого не секрет, що більшість учнів не тому не в змозі розв'язати більш-менш складну задачу, що не готові для такої роботи, а тому, що у них практично відсутня інтелектуальна витривалість, тобто здібність нервової системи зосередитися над однією проблемою більш ніж на півгодини.
Із процесу розв’язування у таких школярів випадає сам етап пошуку цього розв'язання. Тому так рідко можна зустріти школяра, який міг би швидко навести приклад задачі, над якою він міркував 2-3 дні.
Культ чистовика та блокнота
а) Як відомо, багато здібних дітей не люблять доводити розв'язання задачі до повної відповіді. Для них головне – це ідея. А от дрібниці (так вони вважають) можна і не враховувати. Ця звичка є хибною та небезпечною.
Ми радимо тобі працювати «без дрібниць». Необхідно добротно, з проведеними полями вести чистовик. На полях загального зошита запиши джерело, звідки взято задачу. В заголовку – задача (тобто вказуй порядковий номер задачі, який ти будеш виставляти із самого початку організації самоосвітніх занять).
Ми впевнені що коли це число сягне за номер 1000, у тебе не буде проблем, принаймні, із шкільною математикою. Крім цього, дуже корисно обов'язково записувати перед розв'язанням самої задачі її умову. Тільки так у тебе з'явиться можливість повернутися ще раз до цікавої складної задачі через досить, навіть, тривалий термін.
б) У процесі роздумів над задачею або при ознайомленні з новим теоретичним матеріалом, очевидно з’являться нові нетривіальні формули, цікаві ідеї та теореми. Для того щоб не втратити їх та не забути з часом, розумно було б завести невеличкий блокнотик. Так би мовиш, особистий спеціальний довідник. В ньому ти будеш накопичувати не тільки власні відкриття, а й окремі методи, прийоми, підходи, базові методики для розв'язування нестандартних задач. Стисло кажучи, це повинен бути деякий «джентльменський набір» орієнтовних алгоритмів, які ти будеш використовувати як базові при розвязуванні навіть інсайтних задач.
Такий блокнотик суттєво виграє перед відомими традиційними довідниками з математики. По-перше, його автором будеш ти сам або ви з учителем, а отже, відпадає небезпека не розуміння деяких формул, фактів та ідей. По-друге, в твоєму блокнотику, на твій погляд, не буде нічого зайвого. Кожна нова формула чи цікавий технічний прийом перш ніж займе в довіднику своє місце, мусять добре показати себе в роботі. І, нарешті, ніхто краще тебе не буде знати зміст твого блокнота. Отже, цей довідник буде дуже зручний для тебе в користуванні.
У чистовику та блокнотику слід писати охайно та розбірливо. Наш досвід роботи з учнями переконливо свідчить, що за недбалим записом, нерозбірливим малюнком, неохайним оформленням роботи частіше всього приховується слабка загальна підготовка школяра, суттєві прогалини в знаннях програмових питань, або просто його власна некомпетентність.
Принцип «наполегливої жабки»
Відома притча про двох жабок: «Якось дві жабки попали в погріб та впали у глечик із сметаною. Стан істот був майже безнадійним. Перша жабка, переконавшись в цьому, вирішила не витрачати марно сили. У відчаї вона пішла на дно і швидко загинула.
Зовсім по-іншому повела себе її подруга. З перших хвилин небезпеки друга жабка почала вести рішучу боротьбу за власне життя, не припиняючи ні на хвилину борсатися в глечику. І раптом – о диво! – вона відчула під своїми лапками щось тверде: це жабка сама всіма своїми кінцівками із сметани збила масло. Ще мить – і вона, впевнено відштовхнувшись від твердої масляничної грудочки, щаслива виплигнула із глечика.»
А тепер наша порада: якщо задача не розв’язується досить довго, то перш ніж залишити її, корисно пригадати цю притчу.
Принцип паралельності
Незважаючи на те, що програма з математики розбита на окремі теми та розділи, було б, на наш погляд, зовсім невірно вивчати ці теми одну за одною. Слід регулярно тримати в полі зору 2–3 теми (чергуючи алгебру з геометрією). Спробуйте просуватися вперед та вглиб за вибраними темами, і ви швидко відчуєте ефективність такої методики. Крім того, ви будете значно менше стомлюватися.
Принцип варіативності
Д. Пойа, видатний угорський математик та педагог, стверджував, що краще та набагато корисніше для інтелектуального розвитку одну задачу розв'язати кількома різними способами, ніж кілька різних задач. Сучасна методична наука та психологія повністю підтвердили цю пораду вченого. При реалізації «принципу варіативності» найбільш продуктивно розвивається така важлива функція мозку як здібність до створення парадигм, гнучкість та асоціативність. При цьому, порівнювати різні розв'язки варто із декількох кутів зору: стандартність чи оригінальність; багато чи мало обчислювальної роботи; чи можливе знайдене розв'язання методами, що вивчалися тобою в минулих роках, тощо.
Принцип самоосвіти
Слід пам'ятати, що розібратися вже в готовому розв'язанні часто буває не легше, ніж розв'язати задачу самостійно. Разом з тим для вченого така робота – будні. Тому привчати себе працювати в режимі самоосвіти – це чи не найголовніша мета і проблема юної особистості. Якщо задача довго не розв’язується, корисно розпочати розбирати наведене автором розв’язання з олівцем у руках по окремих частинах. Оволодівши наступним логічним перевалом, слід знову повернутися до процесу самостійного розв'язування. Нарешті, якщо задача вже повністю стала тобі зрозуміла, обов'язково запиши своїми словами розв'язання в чистовик, помітивши її зірочкою. Перед олімпіадою, за 2—3 дні корисно переглянути розв'язання подібних задач та поновити в пам'яті всі використані там ідеї та формули.
Принцип творчості
Дотримування цього принципу означає, що варто привчати себе не тільки відшукувати та вичленяти ідею задачі, яка веде до розв’язання, але й не пропускати випадку та не втрачати спроби «одягти» знайдену ідею в нову фабулу. Іншими словами, треба весь час намагатися формулювати нові власні задачі.
Схематично технологічна послідовність дій така:
Нова задача - її діагностика - розв’язання - вичленення ідеї - пошук іншої фабули - створення нової власної задачі.
Принцип творчості – це вже «вищий пілотаж» у самоосвітній діяльності. Реалізувати його надто важко, але прагнути до цього вкрай необхідно.
Зрозуміло, що наведені принципи не претендують на повноту та завершеність. І все ж ми ще раз радимо віднестися до них наполегливо і серйозно.
І на закінчення ось про що.
Готуючись до олімпіади, тобі необхідно прискіпливо слідкувати за розвитком власної ерудиції, загальної культури. Художня література, музика, кіно- і телефільми – далеко не всі ланки в цьому ланцюзі. Дуже корисно ознайомитися з біографіями видатних людей, слідкувати за плинністю їх думок. Проілюструємо останнє речення на деяких конкретних прикладах.
Декарт. «Міркування про метод». [Вибрані твори, стор. 274.]
«Кожна розв’язана мною задача ставала зразком, який надалі я використовував для розв'язання інших задач».
Г. Літенберг. «Арhorismen» [Веrlin, 1902— 1906.]
«Те, що ви змушені були винайти самостійно, залишає у вашому розумі стежинку, якою ви зможете знову скористатися, якщо в цьому виникне необхідність».
Б. Наполеон.
«Розв’язування задачі нагадує мені пошук мишеняти в купі каміння. Можна діяти двома способами:
1. Розкидати камінці, визначити, де сидить мишеня, і упіймати його.
2. А можна діяти інакше. В цьому разі необхідно швидко ходити навколо купи і пильно слідкувати, чи не з'явиться десь хвостик мишки. В разі удачі — не зівай».
У. Філліпс.
«Труднощі породжують у людини здібності, ті необхідні для їх подолання».
Сенека Молодший.
«Свої здібності людина може взнати, лише намагаючись застосувати їх.»
В. Пекеліс. «Твої можливості, людино!» «Знання», М.1984 р. стор.194.
«Широко відомий у світі вчений академік Отто Юлійович Шмідт у віці 14 років склав детальний план свого подальшого життя. В ньому юнак вказав до маленьких дрібниць, які книги він повинен прочитати, тими науками оволодіти, які проблеми вирішити, т розвиватися фізично. Але коли він підрахував, скільки років необхідно буде для виконання цієї програми, з'ясувалося — йому необхідно рівно 900років! Шмідт «стискував з великим жалем програму — отримав 500 років. Стиснув ще — отримав 150. На цьому зупинився.
Розпланувавши своє життя по хвилинах, працюючи на творчій границі можливого, вчений до кінця життя (Шмідт помер у віці 64років) виконав всю стоп'ятидесятирічну програму, перекривши «норму» майже у три рази».
Від себе ми радимо тобі уважно прочитати всю цитовану книгу В. Пекеліса, з якої ти дізнаєшся багато корисного для себе: і про «рефлекс мети», і про теорію граничних навантажень, і про те, як розвинути власні загальні здібності.
Як розв’язувати задачу
«...Метод розв'язання вдалий, якщо
із самого початку ми мажемо передбачити
і надалі підтвердити, що, користуючись
цим методом, ми досягаємо мети».
Лейбніц «Opuscules»
Хто з нас хоча б раз у житті не мріяв винайти або, принаймні, оволодіти універсальним методом, за допомогою якого можна було б розв’язати будь-яку задачу. Над таким універсальним методом роздумував Декарт, таку ж потребу та ідею знайти загальний метод до розв'язування задач плекав Лейбніц. І все ж, не дивлячись на . те, що пошуки універсального метода для розв'язування задач історично повторили вічний пошук філософського каменя, який би міг перетворювати неблагородні метали у золото, напружена праця вчених, у певному розумінні, досягла своєї мети.
Сучасні психологи стверджують, що процес розв’язування задачі являє собою специфічну особливість інтелекту. А інтелект – особливий дар людини. Тому процес розв'язування задачі повинен розглядатися як одне із самих характерних проявів людської діяльності. Яким чином можна управляти цією діяльністю, ти із задоволенням прочитаєш у книзі Д. Пойа «Математичне відкриття» [М.: Наука, 1976 р. С. 245— 286]. Добрим помічником під час розв'язування задачі є розроблена ним схема самозапитань, яка надрукована в книзі «Як розв’язувати задачу» [М.: Наука, 1972 р.]
Окремими розділами ця книжка цитувалася майже всіма підручниками шкіл СІЛА, Японії, Німеччини та ін.
ЯК РОЗВ’ЯЗУВАТИ ЗАДАЧУ
(за порадами Д. Пойа)
1. Треба чітко зрозуміти задачу
Розумій змету задачі.
Що невідомо? Що дано? З чого складається умова?
Чи можливо задовольнити умові? Чи досить умом для визначення невідомого? Чи недостатньо? Чи надміру? Чи суперечливо? Зробіть малюнок. Введіть потрібні позначення.
Розділіть умову на частинки. Спробуйте записати їх.
2. Треба знайти розв’язок між відомим і невідомим. Якщо не вдається одразу виявити цей зв’язок, можливо корисно буде розглянути допоміжні задачі. І в решті-решт необхідно дійти до плану розв’язання.
Складіть план розв’язання
Чи ж зустрічалась вам раніше ця задача?
Хоча б трохи в іншій формі?
Чи відома вам будь-яка споріднена задача? теореми, яка могла б стати »? Розгляньте невідоме! Намагайтесь пригадати знайому задачу з тим самим або подібним невідомим. Ось задача, схожа з даною і вже розв’язана. Чи не можна скористатися нею? Чи не можна використати її результат? Чи не можна використати метод її розв’язання? Чи немає ввести будь-який допоміжний елемент, щоб стало можливо скористатися попередньою задачею? Чи не можна сформулювати задачу інакше? Поверніться до означень. Якщо не вдалося розв'язати задану задачу, спробуйте спочатку розв’язати подібну. Чи не можна придумати простішу подібну задачу? Загальнішу? Частковішу? Аналогічну задачу? Чи не можна розв'язати частину задачі? Залишіть тільки частину умови, відкинувши іншу частину: на скільки зрозумілим стане тоді невідоме! Як воно може змінитися? Чи не можна вилучити що-небудь корисного із даних? Чи не можна придумати інші дані, з яких можна було б визначити невідоме? Чи не можна змінити невідоме, або дані, або, якщо необхідно, і те і друге так, щоб нове невідоме і нові дані опинилися один до одного? Чи всі дані вами використані? Чи всі умови? Чи прийняли ви до уваги всі суттєві поняття, які містяться в задачі?
3. Треба здійснити план розв’язання.
Здійснення плану.
Здійснюючи план розв’язання, контролюйте кожний свій крок. Чи зрозуміло вам, що зроблений вами крок правильний?
Чи зумієте ви довести, що він правильний?
4. Треба вивчити знайдене розв’язання. Погляд назад (вивчення отриманого розв’язання).
Чи можна перевірити результат? Чи можна перевірити хід розв'язання? Чи можна отримати цей результат іншим способом? Чи можна побачити його з першого погляду? Чи можна в якій-небудь іншій задачі використати отриманий результат?
Звертатися до запитань цієї схеми необхідно кожного разу тоді, коли в ході розв'язання станеться вимушена пауза. Слід пам'ятати, що основна мета запитань схеми Д. Пойа – це весь час подразнювати твій розум, стимулювати його до генерації нових плідних ідей. Останню нашу пораду найбільш яскраво ілюструють такі дві аналогії.
1. Видатний вчений Н. Маріот якось сказав, що людський розум нагадує йому шкатулку: думаючи, ви розгойдуєте цю шкатулку, поки із неї що-небудь не випаде. Таким чином, немає сумніву в тому, що результат роздумів певним чином залежить від випадку. І цей випадок можна прискорити.
2. Філософ і математик В. Лейбніц порівнював людський розум із ситом: коли ми думаємо, ми розкачуємо сито доти, поки крізь нього не просипляться якісь мілкі частинки. Під час того, як вони випадають, ваша пильна увага підхоплює ті з них, які здаються вам корисними.
Над цими аналогіями корисно ґрунтовно порозмислити. Адже той, хто розв'язує задачі, мусить знати свій розум так, як атлет знає своє тіло або жокей знає своїх коней
Щоразу, беручись за нову задачу, ти відчуєш, що ті варіанти та комбінації, які тобі вдалося винайти в пошуку розв’язання, незважаючи на їх велику кількість, майже всі марні. Ми маємо намір попередити тебе, що цього почуття не слід боятися, але його необхідно враховувати. Будь впевнений, що наполеглива праця візьме своє: твої дії з часом будуть ставати раціональнішими, економнішими, вишуканішими та, певною мірою, несвідомими. Це як при навчанні їздити на велосипеді: впевненість до початківця приходить не раніш того, як його дії стануть несвідомими або автоматичними. Прийде час і, беручись за чергову наступну задачу, ти помітиш, що для кожного елемента умови тобі в голову прийде єдиний вірний та плідний його варіант і всі вони послідовно складуться у закономірні та корисні комбінації – начебто хтось вже виконав перебір усіх розумових можливостей і вибрав потрібне.
Немає коментарів:
Дописати коментар